8 – Fractales, Power Laws y jerarquías


 

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Los fractales

En este capítulo intentaremos mostrar cómo se relacionan las redes sociales con las redes libres de escala a través de las distribuciones PZM descriptas en el capítulo 3. Este tipo de distribuciones son muy interesantes ya que se encuentran por doquier en la naturaleza y marcan una característica propia de lo natural.

Como se vio, son importantes porque describen una forma que facilita la circulación de los flujos a través de ellas. La selección natural actúa sobre los sistemas naturales de forma tal que le confiere diseños que propenden a que el intercambio de flujos entre el sistema y el entorno se pueda llevar a cabo de acuerdo con la ley constructal[i].

Algunas de las propiedades de este tipo de distribuciones ya se han visto en el capítulo mencionado, ahora analizaremos otras que nos servirán como una valiosísima herramienta a la hora trabajar con las comunidades de interacción directa, más específicamente nos posibilitarán visualizar cómo opera en ellas la fraternidad.

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http://www.art-by-ajil.com/store/art_print_products/spiral-fantasy

Para comenzar con nuestro análisis vamos a recurrir a un área relativamente nuevo en las matemáticas, los fractales; no para analizar qué son ni para qué sirven, sino como una herramienta de análisis de las estructuras propias de las redes sociales de interacción directas.

Sobre Fractales simplemente diremos que son objetos matemáticos que se pueden descomponer en partes menores semejantes a la primitiva. El término fue propuesto por Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Su descubridor define fractal (The Fractal Geometry of Nature (1982)) como: “una forma geométrica irregular o fragmentada que puede ser dividida en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia reducida del todo“.

Hay fractales por doquier en la naturaleza. Ilustraremos su proceso constructivo con El triángulo de Sierpinski. Partiendo desde un triángulo equilátero y dividiendo su altura y su ancho por la mitad se obtienen tres triángulos idénticos, semejantes al original, sólo que sus alturas y sus bases son la mitad que las del primitivo.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Animated_construction_of_Sierpinski_Triangle.gif

Lo interesante que pasa con esta figura es ver cómo a partir de la división por dos de su sus lados se obtienen tres triángulos semejantes al original. Más adelante volveremos sobre este triángulo, pero ahora vamos a ver otras figuras más conocidas para nosotros como son la recta, el cuadrado y el cubo a las que someteremos al mismo proceso de fraccionamientos sucesivos

Consideremos una barra de largo L, si duplicamos su longitud tendremos dos copias proporcionales de la barra original. Lo mismo ocurre si partimos el segmento en dos segmentos L/2.

 

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2 segmentos de tamaño 1/2:

N=2, L=1/2

(1/2)-1 = 2

N / (L)-1 = 1

4 segmentos de tamaño 1/4:

N=4, L=1/4

(1/4)-1 = 4

N / (L)-1 = 1

8 segmentos de tamaño 1/8:

N=8, L=1/8

(1/8)-1 = 8

N / (L)-1 = 1

………………

……..

……….

……….

2n segmentos de tamaño (1/2)n:

N=2n , L=(1/2n)

L-1 = N

N / (L)-1 = 1

 

Repitamos el mismo proceso para un cuadrado de lado = L y lo dividimos en cuadrados más chicos de lado L/2 y L/4

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Por último intentémoslo con el cubo de arista L, que también segmentamos en cubitos de lado L/2 y L/4

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Como vemos en cada caso D es una característica propia para cada objeto gráfico del que se trate.

Estableciendo una relación genérica para estas figuras por todos conocidas vemos que

 

N= L-D    [ecuación 5]

Siendo N las veces que amplifico el objeto original y L la cantidad de objetos que veo luego de dicha amplificación.

La dimensión D es simplemente un exponente que relaciona el número de partes similares que se obtienen al romper el todo, que quedan de manifiesto al ampliar N veces el tamaño original del objeto.

A diferencia de los objetos de la geometría euclidiana, en el mundo de los fractales nos podemos encontrar con dimensiones que no son números enteros, tal es el caso del triángulo de Sierpinski al que vamos a someter al mismo proceso de análisis que hicimos con la recta. Recordemos que procedíamos partiendo sus lados en mitades (alto y ancho) y que producto de esa partición se obtenían tres triángulos semejantes, siguiendo este proceso llegamos a esta tabla

3 triángulos de lado 1/2:

N=3, L=1/2

(1/2)-D = 3

9 triángulos de lado 1/4:

N=9, L=1/4

(1/4)-D = 9

27 triángulos de lado 1/8:

N=27, L=1/8

(1/8)-D = 27

……………

……………

……………

3n triángulos de lado 1/2n:

N=3n , L=1/2n

(1/2n )-D = 3n

 

¿Que valor tendrá D para el caso del triángulo de Sierpinski? ¿Cómo encontramos el exponente D en este caso? Despejando D de la ecuación 1 mediante el uso de logaritmos tenemos que:

D = – Log (N)/ log (L) [ecuación 6]

Lo primero que hacíamos era contar cuantos objetos similares teníamos al amplificar la figura N veces. En este caso N es igual a 3 y L es igual a ½.

 

Luego D = – Log (3) / log (1/2) = 1,585

La dimensión fractal del triángulo de Sierpinski es D = 1,585 que en términos de lo conocido sería una dimensión que estaría entre las dimensiones del plano (dimisión 2) y de la línea (dimisión 1).

La dimensión fractal

Generalizando la definición podemos decir que la Dimensión fractal es igual al logaritmo del numero de piezas obtenidas / logaritmo sel factor de amplificación.

Recordemos la ecuación 2 del capítulo tres que nos mostraba la relación matemática del tipo Ley potencial o más conocida por su nombre en inglés Power Law

f(x) = a xk

 

en donde a (la constante de proporcionalidad) y k (el exponente de la potencia) eran constantes. La ley potencial y nuestra definición de dimensión fractal difieren en una constante que es demostrable que tiene que ver con un coeficiente de autosimilitud.

 

Lo importante ahora es ver que tanto la eq 1 y la definición de dimensión fractal son prácticamente idénticas. Cuando se estudia la ley de alometría, una power law que establece un tipo de relación Log(fx) = a Log x, se hace referencia a que “a” es un exponente de escala, dado que la ley de alometría trata justamente con los cambios de escala de una muestra estadística. En el caso de la ley de Kleiber, que se veía en ese capítulo, se relacionaba el cambio del volumen en los animales a partir del incremento de su tasa metabólica. En la ley de Kleiber ese exponente era 3/4. Esto quiere decir que la dimensión fractal de la ley de Kleiber sería de 0,75.

 

También se puede determinar la dimensión fractal a partir de las relaciones de escala. Este es el método más usado a partir de medidas experimentales. Recordemos aquella vieja técnica para cambiar de escala a un dibujo que usábamos en la escuela. Sobre el dibujo a amplificar se sobreponía una grilla de un tamaño de cuadrados determinado. Sobre una nueva hoja de papel se dibujaba una nueva grilla con un tamaño de cuadrados mayores o menores al original de acuerdo a lo que se quisiere hacer, aumentar o disminuir el dibujo original. Luego se dibujaba sobre la nueva grilla lo que correspondía a ese cuadrado del damero original tratando de hacer lo mejor posible, dentro del cuadrado, la representación del dibujo original que correspondiere.

 

Lo que hace la ley de potencia es un cambio de escala entre dos escenarios distintos, compensando los defasajes que se producen debido a ese cambio de escala mediante una constante de proporcionalidad asociable a la dimensión de los fractales.

 

Como señalan Bartolo Luque y Aida Agea en su curso de fractales “existe todo un repertorio de dimensiones. Conceptualmente cada una determina una propiedad distinta del objeto geométrico sobre el que la medimos. Podemos hacer tres grandes grupos:

 

  • Dimensión fractal (p.ej. dimensión de autosimilaridad, de capacidad o de hausdorff): se refieren a como el objeto geométrico llena el espacio en el que está inmerso. Las dimensiones fractales pueden ser enteras o fraccionarias. 

  • Dimensión topológica (p.ej.: dimensión de recubrimiento o iterativa): nos hablan de la conectividad de los puntos del objeto de medida. Nos dice si nuestro objeto es una arista, un plano, un volumen, un hipervolumen, etc. Su valor es siempre entero.
  • Dimensión de inmersión (Embedding dimension): se refiere al espacio que contiene al objeto de estudio. Puede ser de nuevo entera o fraccionaria.

 

Power Laws

Recordemos la forma de una power law

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“Las power laws son las características generales emergentes que presentan los sistemas complejos”.

 

Citado por Peter Winiwarter de The fractal nature of nature: power laws, ecological complexity and biodiversity– James H. Brown, et all en el capítulo mencionado.

 

“A pesar de la complejidad y de la idiosincrasia de los organismos y ecosistemas en que se producen, hay aspectos en la estructura y en las funciones de estos sistemas que se mantienen auto-similares, o casi, dentro de una amplia gama de escalas espaciales y temporales. Leyes potenciales empíricas describen matemáticamente una jerarquía de tipo fractal en la organización de estos sistemas”. […]“Por otra parte, mecanismos sencillos que limitan la estructura y la dinámica a mayor escala, también establecen grandes limitaciones sobre cómo los componentes interactúan y se vinculan a gran escala, los sistemas complejos. Juntos, estos mecanismos de abajo para arriba y de arriba para abajo dan lugar a Power Laws y otras características emergentes”.

 

Las power laws son, en consecuencia, las que mantiene autosimilitud a media que el sistema evoluciona y esto puede interpretarse gráficamente como la evolución que presenta un fractal a medida que se va autogenerando.

 

El tercer elemento que queríamos introducir referente al tema que nos compete en este capítulo es la jerarquía fractal. Llamaremos jerarquía fractal al ordenamiento emergente propio de una Power Law. Si a una power law le corresponde un fractal es evidente que podemos interpretar a las power laws como sistemas evolutivos en el tiempo que por ser fractales se crean de una matriz y evolucionan en un sentido tal que su complejidad aumenta, y a medida que lo hacen, van generando nuevas generaciones emergentes de orden superior a la anterior. Este proceso de desarrollo fractal establece una concurrencia.

 

Determinado un X cualquiera en el eje de ordenadas, a las x que están a la derecha de X le corresponderán f(x) menores (mayores) que a X, en consecuencia a las que se encuentren a su izquierda le corresponderán f(x) mayores (menores). Así se establece un ordenamiento de mayor a menor o de menor a mayor propio de la distribución muestral de la que se trate, la pendiente de la recta de su representación doble logarítmica, nos dará una idea de cuan diferentes son entre sí los sucesivos muestreos y cuan disímil será la distribución como conjunto. A mayor pendiente de la recta doblelogarítmica mayor será la jerarquía fractal entre sus elementos primitivos. Cuanto mayor sea su dimensión fractal más rápido será el crecimiento de sus partes al aumentar el factor de aumento.

 

Pero para verlo mejor gráficamente vamos tomar una porción de la curva y la vamos a amplificar en un sector correspondiente al vecindario de X (Δx).

 

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Para cualquier x encontraremos una porción de la curva f(x) tal que en un entorno Δx, f(x) decrece (crece) desde a hasta b. En dicho Δx encontramos un Δy= f(a)- f(x) (zona amarilla de la figura) que tendrá un valor opuesto a otro Δy= f(b)- f(x) (zona naranja de la figura), representado en la figura por flechas de sentido opuesto.

 

Esto es fundamental ya que siempre que se pretenda reunir una diversidad social, tal que su dispersión sea Δx, se establecerá una tensión interna que dependerá de la forma propia de la curva y del sector donde se tome el Δx. Habrá una concurrencia mayor a un lado del Δx que al otro

 

La diversidad Δx está sujeta a una tensión intrínseca que se provoca a partir del desequilibrio propio de la disponibilidad que representa y que el sistema social en cuestión demanda para vivir, para ello deberá resolver sus diferencias internas para que las disponibilidades en disputa alcancen para todos y a partir de ellas puedan convivir y sostenerse en el tiempo. Esta tensión opuesta y de magnitud relativa al sector de la curva en cuestión, provoca un momento cinético que produce la movilidad social necesaria para que este diferencial pueda evolucionar en un sentido o en otro. Es por eso que ese sistema social lo resuelve, como dice Juan Urrutia Elejalde al describir el concepto de Fraternidad, como una conveniencia de los agentes en la búsqueda de un equilibrio de sus necesidades dentro de la red: “cada hermano está dispuesto a no ser el más listo para permanecer unido a su hermano”. El Δy es el máximo esfuerzo que cada agente estará dispuesto a hacer en favor de la cohesión social.

 

Para que un ser humano (agente de una red de interacción directa) pueda hacer sustentable su vida necesitará reunirse con un grupo social para que en conjunto colaboren en la empresa creadora que es la vida. Esta reunión pone de manifiesto rasgos y necesidades comunes que concurren hacia una demanda también común de esas mismas disponibilidades, lo que de por sí configura un conflicto. Al estar las disponibilidades determinadas por el entorno, el grupo social tiene como única alternativa organizarse internamente en función de esas disponibilidades finitas y ajenas. Esta organización tomará una de estas dos formas: distribución o acopio.

 

Ahora, si bien siempre existen estas tensiones emergentes propias de cualquier agrupamiento social, el agente deberá optar por un Δx con el cual asociarse; dicho de otra forma elegir el sector de la curva que esté en concordancia con lo que mejor le convenga. Porque hay formas distintas de lograr número ya que en una porción de la curva el número se logra a partir de una gran diversidad, pero con poca tensión social relativa (sector derecho), y en el otro se logra con una gran paridad pero con tensiones sociales debidas a la rivalidad por los recursos mucho mayores.

 

Si el agente opta por agremiarse a la porción derecha de la curva, esto es minorías muy parejas entre sí en número pero con una gran diversidad, las tensiones internas producidas serán mínimas dado que la curva en ese sector está bastante aplanada. Esto es producto del equilibrio numeral entre los diferentes actores que la hace homogénea numeralmente en la diversidad. La escasa tensión social posibilitará el diálogo y el arreglo racional mediante la implementación de un contrato social.

 

Por el contrario si tomamos una muestra de la porción izquierda de la curva, a pequeños Δx tendremos una gran tensión social debido a la pronunciada pendiente de la curva en ese sector, en un mismo Δx convivirán sectores con muchas necesidades y otros con muchas menos. Por lo que el agrupamiento social en este sector, para ser equilibrado deberá se muy poco diverso, contrariamente a lo que pasaba en el caso anterior. Este es el caso del populismo: el consenso se logra en base a la casi nula dispersión, a un costo de alto grado de conflictividad latente que da como resultado un equilibrio muy inestable que ante cualquier perturbación puede desencadenar la ruptura social. En este caso la comunicación y el acuerdo social preponderante es esencialmente emocional.

 

Generalizando, los agrupamiento sociales del sector izquierdo de la curva podrán más numerosos y homogéneos aunque menos estables, los del derecho serán menos numerosos más heterogéneos pero pese a esto más estables. Podemos graficar los casos expuestos mediante dos rectángulos oblongos de superficies equivalentes que contienen el mismo número de agentes cada uno, en el primer caso el rectángulo se encuentra parado con una pequeña base de sustentación y una gran altura (rectángulo verde), en el segundo caso, el rectángulo yace acostado con su lado mayor como base (rectángulo rojo), es evidente que este segundo rectángulo pese a mostrar una gran diversidad, tiene más posibilidades que sobrevivir que el primero debido a que sus rivalidades internas serán mucho menores.

 

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Otra consecuencia de este análisis surge a partir de lo que Luque y Agea definen como Dimensión de inmersión. Conceptuar a los sistemas sociales como sectores estancos (Δx fijos) es un error, porque si bien en general las power laws son discretas y no una línea continua como las dibujadas, los agrupamientos discretos están sujetos a una movilidad ascendente o descendente en la curva. De allí la dimensión inmersa se yergue como una propiedad fundamental medible dentro de las power laws.

 

Imaginemos un sistema social familiar como el que hemos venido discutiendo en los últimos capítulos, por ejemplo una familia matricial sindiásmica, si bien vemos una separación entre padres e hijos que es evidente, y dentro del grupo de los hermanos también se puede apreciar una cierta distancia social, hay un salto de escala entre generación y generación y también un cambio de escala dentro de una misma generación de hermanos. Pese a esto también hay cierto hilo conductor de similitud entre agente y agente tal que nunca se puede determinar a ciencia cierta el comienzo o el fin de una familia determinada o de toda una gens, sino que hay un devenir continuo dado que los hermanos se convierten en padres y luego en abuelos y así de generación en generación las gens van teniendo un movimiento ascendente en la curva de la power law, aunque permanezcan siendo siempre la misma gens.

 

Esto se puede interpretar como un continuo de remolinos que se producen en los diferentes estadios de evolución de la power law, como bucles producidos por los momentos sociales descriptos que avanzan unos sobre los otros incorporándolos y deglutiéndolos de menor a mayor, y a media que lo hacen todo el sistema evoluciona con un movimiento ascendente de conjunto. Dicho esto estamos en condiciones de analizar la curva como una sucesión de rizos o rizomas ascendentes que trepan la pendiente evolutiva del sistema social. También se podría interpretar como el corrimiento del eje de coordenadas de izquierda a derecha.

 

Sobre la dimensión fractal ya hemos hablado al describir la evolución del sistema social en su emergencia desde una generación a otra, mediante la inmersión de uno dentro del otro, sólo nos quedaría analizar la dimensión topológica, que tiene que ver con la forma en que la red social está comunicada y de cómo, a partir de esa topología, evolucionan sus flujos. Es por eso que ahora nos centraremos en la conectividad de la red y sus posibilidades.

Necesidades y disponibilidades

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Caricatura de 1811 ‘Pigeon Holes’ que flanquea la galería superior de Covent Garden

 

Hasta aquí tratamos de establecer una relación entre las PZM y los fractales. Definimos la dimensión fractal como una constante de proporcionalidad que nos posibilitaba el cambio de escala desde los múltiples casos diversos y dispersos para llegar a los casos más frecuentes, que pese a ser más populosos, son menos diversos.

Podemos entonces conceptuar a las PZM como una distribución que establece en sentido evolutivo, la dispersión entre lo más frecuente, lo más concurrido, a lo menos frecuentado, lo menos ocurrente, o su sentido inverso, que se podría describir como una forma fractal que se autogenera a partir de una reproducción de un mismo proceso divergente.

¿Pero qué significan sus ejes de coordenadas? El eje de las x, el eje horizontal, describe la diversidad, las posibles formas disponibles en que las y se puede organizar la demanda por esas disponibilidades. El otro eje significa la cantidad de casos que tenemos de cada x, la frecuencia con que ocurre x, y que luego de ordenarse se distribuirán de una forma particular que va desde una gran variedad de casos distintos con frecuencias de repeticiones muy escasas, al caso totalmente opuesto, grandes conglomerados demandando alrededor de una muy escasa diversidad.

¿Qué es lo fijo y que es lo móvil de este gráfico? Si el eje de las x representa la diversidad de casos posibles, este dato estará condicionado por el contexto, habrá una determinada diversidad de casos posibles, este eje representa la disponibilidad, el eje de las x estará así restringido, en un principio, a las disponibilidades que da el sistema. Representa la disponibilidad que ofrece la naturaleza ante las necesidades de los agentes. Esas disponibilidades son siempre finitas para esos agentes, dado que ellos se constituyen a partir los esos recursos que necesitan del entorno. Por lo que los agentes se yerguen en base a las disponibilidades que les ofrece la naturaleza y ante esta oferta dada ellos “eligen” donde posicionarse[ii]. Esta restringida y dispar distribución de necesidades en base a las posibles disponibilidades, hace que el sistema se apile hacia un lado estableciendo una distribución de la concurrencia muy desproporcionada[iii].

En este sistema los recursos están disponibles de una manera pre determinada (eje de las x) y fluyen libremente para cubrir las necesidades de los agentes que a su vez se agrupan en base a conglomerados de diferentes magnitudes de acuerdo a la disponibilidad de la que se trate. Y aquí viene el problema.

Si, como se vio en el primer capítulo, lo social se instituía en base a lo común, acá vemos que lo común (la totalidad de las disponibilidades ofrecidas al conjunto de agentes a lo largo del eje de las x) no tiene la menor posibilidad de distribuirse equitativamente dado que no tiene simetría de ningún tipo en función de su diversidad, como sí la tendría una campana de Gauss. ¿Cómo es posible entonces distribuir lo común; finito y cuantificado en base una dispersión determinada, entre una población de agentes demandantes condicionados por sus dispares necesidades materiales?

Un reparto no equitativo

Con lo primero que nos encontramos es con una distribución que no es ni pareja, ni equitativa, ni aleatoria, ni simétrica y a partir de este dato de la realidad nuestras necesidades reales se deben adaptar a las disponibilidades realmente existentes, lo que constituye una seria limitación. Sin embargo, esto de por sí no es muy preocupante después de miles de años de selección natural. Somos lo que somos en base a las posibilidades de la disponibilidad de nuestro entorno. Estamos constituidos en base a esas disponibilidades. ¿Acaso podríamos sobrevivir en una atmósfera sin oxígeno? tal vez sí pero sería muy difícil.

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Foto de acá

Esta idea se podría conceptualizar como un casillero de cartas a donde llega la correspondencia de una determinada manera, donde algunos poseen mucha correspondencia, otros menos y algunos no tienen nada. Sin embargo al ver la foto del casillero obviamos que esa distribución está en concordancia con su destinatario, dado que se ubica en el buzón en base a un determinado destinatario y a su vez acorde a la “demanda” de correspondencia del dueño del casillero, por lo que en definitiva no importa la forma, en un principio, en que las cartas se distribuyan en los casilleros sino la necesidad de correspondencia y sus destinatarios. Hay una relación directa entre correspondencia y destinatario que establece un flujo de cartas: se podría visualizar como un árbol fractal con el tronco en el correo y su copa en los diferentes casilleros. Será este, un árbol de copa desproporcionada y caprichosa, que estará en concordancia con la demanda de envíos que reciben los destinatarios.

Desde la óptica de los constructivistas radicales (Paul Watzlawick, Ernst Von Glasersfeld, Humberto Maturana, etc.) esto podría ser analizado como un casillero que se conforma en base a las necesidades de correspondencia de los destinatarios, sin destinatarios el casillero no tendría razón de ser. Sin embargo no se tiene en cuenta la cuestión de la magnitud del número de cartas que hay en cada casillero. Hay una presuposición que la distribución de las cartas es “aleatoria” para todos los casilleros. Tampoco cuando Stuart Kaufmann nos habla de la “sopa primordial” en donde los elementos primitivos se encuentran distribuidos al azar y a partir de los cuales evolucionan los sistemas, hace referencia de su distribución relativa.

De lo que no se habla es de la disponibilidad de esos elementos primitivos. Porque una cosa es que la distribución espacial de dicha disponibilidad sea aleatoria, y otra muy distinta es que las cantidades relativas estén equilibradas.

Estamos constituidos a partir de replicar el cosmos en nuestros cuerpos, como afirma Stefan Widmer. Nuestros cuerpos emergieron y evolucionaron a partir de las disponibilidades realmente existentes en la naturaleza. Nuestros nutrientes tampoco están distribuidos equitativamente y en consecuencia necesitamos de unos elementos más que de otros. Con todos los organismos vivos pasa esto, dentro de la alimentación existen algunas sustancias sin las cuales no podríamos vivir, pese a que nuestros organismos sólo necesiten trazas de esos elementos, se los denomina justamente oligoelementos porque oligo quiere decir poco.

Sin embargo los fractales junto a las distribuciones PZM, forman un conjunto de representación que tiene en cuenta no sólo la estructura de flujo sino también la tensión que se produce entre necesidades y disponibilidades, que por otro lado es la causante de los flujos.

Dos modelos diferentes y una visión complementaria

Esto nos lleva a entender que esa desproporción de demanda de la diversidad para satisfacer las necesidades de los agentes estará en concordancia, también en un principio, con la magnitud de las disponibilidades del entorno. Pero esta necesidad crece en complejidad a medida que los sistemas sociales avanzan evolutivamente y en el caso de los humanos logran, mediante el desarrollo de su inteligencia racional, desconstruir la complejidad creciente mediante mecanismos que posibilitan, al menos en la fantasía, reducirla.

Ante la curva cruel y fija de disponibilidades, los sistemas sociales sólo pueden moverse en los espacios permitidos por sus recursos naturales. Ante la falta de alguno, especialmente los más vitales como el agua, corren serios riesgos de supervivencia; sin embargo los sistemas humanos poseen a la razón para resolver este tipo de problema sin necesidad de considerar la posibilidad de exención de buena parte de la comunidad como una solución fatalista. Ante la carestía, faltantes, defecto de algún recurso es obvio que un sistema social humano deberá reaccionar racionando los escasos recursos en forma equitativa para satisfacer a la mayor población demandante. Por lo que de esta manera fantástica la razón se opone a la naturaleza. La razón inventa simetrías inexistentes que posibilitan la distribución equitativa de esos recursos naturalmente escasos.

Esto nos lleva a hablar de los flujos. En realidad analizar una curva PZM es una forma de interpretar y ver un problema de una manera orientada a los cambios de escala y a la relación entre número y frecuencia con respecto a diversidad, analizar el mismo problema desde los fractales correspondientes a PZMs es verlo desde otro punto de vista que pone en evidencia el problema de los flujos.

En realidad flujo es la manifestación de un movimiento relativo, algo moviéndose en relación a un marco al que en general se lo mantiene fijo. El árbol fractal es la representación de la traza que realizan esos flujos desde lo más a lo menos, desde le tronco hasta las hojas (o el sentido inverso). En el caso de los sistemas sociales estos flujos tienen que ver con:

a)     los recursos materiales que permiten el metabolismo (controlados por el sistema límbico o autónomo del sistema nervioso),

b)     los flujos emocionales, que tienen que ver con el sistema periférico y están en relación con las interacciones emocionales que tejen los agentes entre sí,

c)     y los flujos del lenguaje racional que tienen que ver con los flujos de información que maneja la parte del cerebro que tiene que ver con el neocortex.

La complejidad de este sistema de flujos que se establece entre los humanos, que son analizados por las tres capas del sistema nervioso, hace que los vínculos en una red de interacciones humanas se establezcan en capas de complejidad creciente.

En este punto es bueno discriminar entre el modelo propuesto por West et al[iv] y el modelo propuesto por la Ley Constructal[v] de Adrián Bejan. Como se vio en el modelo de West se considera a las punteras del árbol, (hojas, capilares, alvéolos), como un remate natural que hace el fractal para no seguir reproduciéndose infinitamente. En un determinado punto de la amplificación -la regla fractal en la naturaleza- el proceso se detiene y genera una puntera que no corresponde a la evolución fractal del árbol y termina ocluyendo su proceso de crecimiento (segundo principio). El modelo de la ley constructal en este sentido es más explícito dado que comienza su análisis desde este elemento de punta y desde ahí analiza cual es la mejor ecuación de fraccionamiento del fractal para dar como resultado la mejor (en ese punto) relación entre dispersión del flujo y resistencia al avance. Predice, por ejemplo, que el mejor número de fraccionamiento del árbol traqueal para llegar al alvéolo (puntera) es de 29 fracciones, dado que es justamente ese número el que prevé la mejor relación para que el oxígeno pase en su fase gaseosa a la sangre, dato que se corrobora en todo árbol traqueal. En el caso de la cuenca de los ríos, estudia la mejor relación de superficie captora capaz de tributar en una corriente mayor y así todas esas pequeñas punteras desembocan en el cause del río.

Nosotros proponemos un camino intermedio ya que creemos que ambos tienen razón. Desde la óptica de West et al, se parte de una concurrencia en el tronco que se dispersa en un flujo con forma de árbol fractal que a su vez se reproduce hasta un determinado punto al que considera como excepción a la regla y fin de la abstracción (infinita) matemática. El caso de Adrián Bejan realiza el análisis en sentido inverso. Se sitúa en la puntera y analiza cómo hacer posible que los flujos provenientes del árbol fractal fluyan hasta ese punto de la manera más fácil y a partir de esa forma primitiva se construye el árbol en sentido inverso al propuesto por el grupo West et all. Lo que no tiene en cuenta Bejan es que esas condiciones con las que calcula la mejor ecuación de flujo para la puntera son sólo válidas para el momento y el lugar en que se haga el análisis. Nadie sabe como hubiesen sido los pulmones en alguna atmósfera más sulfurosa, por ejemplo, por lo que su conclusión es válida para esta atmósfera que tiene una disponibilidad de CO2 y O2 determinada, y no para otra con más azufre, por ejemplo. El primer modelo está más centrado en la forma fractal de distribución y en las disponibilidades y no resuelve el tema de las punteras, el otro se hace fuerte para resolver las ecuaciones de mecánica de los fluidos justamente el los puntos donde el otro modelo se hace mas debil pero sin considerar la disponibilidades pasadas y futuras del sistema.

En consecuencia es necesario asociar nuestro árbol fractal a una PZM que le corresponda y veremos que, aceptando una mínima concurrencia de las necesidades hacia las disponibilidades, existe un flujo desde lo mayor a lo menor, desde un centro parcialmente clusterizado hacia una periferia descentralizada.

Esta concurrencia de necesidades dará para muchísimas discusiones pero este tipo de “jerarquía” de las disponibilidades no es propia de los humanos sino es una característica del cosmos y como tal debemos respetarla dado que tiene la lógica restricción material que es necesaria para que los cuerpos puedan subsistir con vida.

Diagrama de concurrencia

 

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¿Esto quiere decir que 0 es un Hub? En cierta medida sí y en cierta medida no. Cuando hablamos de red distribuida como dimensión fractal o topológica (en las definiciones de Luque y Agea) de una red social humana, no estamos hablando de una red totalmente distribuida con coeficiente de distribución = 1 sino que hablamos de una red con un grado de distribución (alrededor de 60%) mayor al grado de centralidad que presenta. Esto quiere decir: una red que mantiene una proporción de enlaces reales sobre los enlaces posibles de alrededor al 60%, una vez retirado el nodo más conectado.

 

Escapa al alcance de este trabajo calcular las necesidades de un agente cualquiera (dato que quedaría por corroborarse teóricamente), pero podríamos suponer como válido el Número de Dumbar como número máximo de agentes dentro de una red de interacción directa y seis el máximo grado de separación entre los mismos, ambos surgidos del la constatación empírica. Esto quiere decir que para que los flujos lleguen a un miembro X de una comunidad de interacción directa, dicha comunidad no debería superar el Número de Dumbar de sus miembros ni estar separados unos de otros más que seis saltos, dado que el sistema nervioso humano no podrá manejar (en sus tres niveles de control de flujos) ni un número mayor de miembros, ni una distancia social mayor.

 

Este dato es una media empírica y se basa en los datos que aporta la naturaleza, no quiere decir que la forma de todas las redes sociales humanas de interacción directa tengan esta grafía, o que la forma que desarrollaron sea para toda la eternidad, pero como dicta la Ley constructal tender hacia este diseño significa facilitar la circulación de los flujos para que esto puedan fluir más fácilmente y así hacer más sustentable el sistema.

 

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Geoffrey B. West, James H. Brown, Brian J. Enquist, a huge range of body sizes “A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology,” Science Vol. 276 4 April 1997, p 122 Internal Structure 4/6/06 © Daniel E Whitney[vi]

 

Un diferencial muy dispar

Luego de este complejo y abstracto recorrido llegamos a conclusiones sorprendentes, dado que no estamos analizando sistemas biológicos como los descriptos donde la evolución de un diseño tarda muchísimo tiempo, miles de años. Nosotros estamos hablando de organizaciones sociales entre seres humanos que fluctúan permanentemente.

Para entender lo que queremos decir nos debemos concentrar en el Δx que habíamos ampliado de nuestra curva Power Law.

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A lo largo de toda la curva (de cualquier Δx) para cada Δx encontraremos un Δy >0, típico de la curva que nos habla de en qué punto de concurrencia de la curva nos encontramos. A mayor Δy, estaremos en la porción de la curva donde las necesidades son mayores para cada Δx, a medida que Δy decrece la curva se hace más pareja y la necesidades se hacen más semejantes.

Por lo que para cada b tendremos un a con mayor concurrencia, esto quiere decir que son mayores las necesidades en a que en b y esa diferencia de necesidades será la responsable de la estabilidad de mi Δx.

Tampoco vemos la forma de estabilizar equitativamente esta distribución ya que no existe una simetría para ésta, o más precisamente: a mayor Δy menores serán las posibilidades de establecer repartos equitativos. Esto hace que los flujos sean mayores del lado de a que del lado de b, dada la desigualdad de a con b, por lo que el sistema deberá compensar esa diferencia vehiculizando con mayor facilidad los flujos cercanos a a que a los próximos a b, por lo que la actividad del lado de a de la pared del diferencial será mucho más activa que la de b. Todo esto sin dejar de tener en cuenta que esto es sólo una porción de la curva para una condición de disponibilidad dada y en un tiempo dado.

Como conclusión y transportados al diagrama de árbol vemos que la parte más solicitada (compartida por más usuarios) de Δx es la parte correspondiente al tronco (el lado de a), la parte más libre es su lado opuesto, donde las ramas son menos concurridas, menos solicitadas por lo que están más libres. Por eso para cada Δx podemos considerar una parte del follaje del árbol en donde el margen derecho del Δx, correspondiente a la parte más cercana a las punteras de árbol, son las partes más libres del follaje y podemos tener PZM diversas que compartan la misma porción Δx e inclusive dentro de la misma PZM podríamos establecer categorías tales que el Δy posibilite una determinada o pactada similitud entre agentes.

Por eso, para cada Δx tendremos una porción a de la curva más concurrida y solicitada y por ende rigidizada y una porción b de la curva, más novel en donde los agentes están más libres, incluso si dividiéramos el Δx en dos mitades iguales, la mitad que contiene a a será más dispar que la porción que quede del lado de b por la propia forma de la curva, del lado de b las similitudes son mayores que del lado de a. Esto se repite a lo largo de toda la curva y para cualquier porción.

La jerarquía de tres niveles de Peter Winiwarter

Peter Winiwarter diferencia tres niveles comunes dentro de las estructuras fractales de las PZM. Dice:

“Power laws del tipo Pareto-Zipf-Mandelbrot (fractals hiperbólicos) se observan para diferentes clases de distribuciones de casi todas las distribuciones de nivel jerárquico, desde el campo de evolución de la astrofísica hasta Internet”.

Todas las regularidades observadas se basan en la descripción de tres tipos de niveles jerárquicos; véase la figura continuación:

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Figura. La jerarquía de tres niveles de la distribución de Pareto-Zipf-Mandelbrot PZM: unidades procesamiento locales (pequeños puntos), clases de unidades de procesamiento (círculos punteados) y sistema de interacción global (círculo grueso).

Winiwarter, a modo de ejemplo para este tipo de esquema jerárquico que muestra regularidades PZM, presenta la distribución del Tamaño de las ciudades para cualquier país del mundo. Utiliza el caso de Estados Unidos

 

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Unidades de interacción

“Las unidades de interacción – son los pequeños puntos en el gráfico – son el tercero y más básico de los niveles de una jerarquía de tres niveles: sistema de interacción, clases de equivalencia, unidades de interacción. En nuestro ejemplo, la unidad básica de interacción local es “el habitante”, que es asignado a una clase (la ciudad) durante una instancia del sistema”.

Dice que:

“La distribución de tamaños de clase del sistema sólo cambia debido a tres posibles interacciones:

 

  • nacimiento de una unidad de interacción (un nuevo habitante) 

  • muerte de una unidad de interacción (la desaparición de un habitante) y 

  • migración de una unidad de interacción de una clase (ciudad) a otra clase (ciudad) dentro de la red, durante dos instancias distintas (censo de EE.UU.)” 

Esto apareció recurrentemente, recordemos nuestra cita a Vega Redondo:

la acumulación de capital social es conducida por la búsqueda de oportunidades gananciosas que han de encontrarse moviéndose dentro de la red. Esto resulta que la búsqueda es un proceso mediado por la red”. Agrega que “el valor de los enlaces existentes está condicionado por su volatilidad, entendida como un decaimiento aleatorio. Por lo tanto, la creación de redes puede ser vista como una situación de compromiso entre búsqueda y volatilidad”.

 

Sigue Winiwarter:

las unidades de interacción pueden ser procesadores u operadores cerrados de información, tal como se define al operador desde un enfoque jerárquico. En nuestro ejemplo de más arriba, la interacción de las unidades básicas son los habitantes humanos, o mejor: los que sostienen los hogares u oikos en nuestra terminología. Los “hogares” son los pilares básicos para los agregados de un pueblo o de una ciudad”.

Clases de equivalencia de las unidades de interacción

“Clases de equivalencia -son los círculos de puntitos dentro de la figura- son agregaciones de las unidades de interacción, las ciudades en nuestro ejemplo. La unidades de interacción (habitantes, los oikos) pertenecientes a una misma clase (los habitantes de la misma ciudad) son equivalentes para el análisis estadístico. El tamaño de las clases, el número de operadores por clase, muestra las características de una distribución PZM en un sentido de medición, que es un recuento de todos los habitantes durante una instante del sistema.

 

Hay muy pocos grandes conglomerados urbanos como Nueva York y Los Ángeles con millones de habitantes, pocos grandes conglomerados de unos cientos de miles de habitantes y un gran número de pequeños conglomerados de la gama de los 10.000 habitantes. En la geografía cuantitativa esta regularidad se llama regla del rango- tamaño”.

 

Sistema de interacción, unidades de interacción de red cerrada

“El sistema global -círculo grueso en la figura- para el cual se observa una regularidad PZM es el sistema de interacción. Este sistema está establecido dentro de un límite, la frontera de los EE.UU. en nuestro ejemplo. Mientras que este límite o frontera es más o menos impermeable a las unidades de interacción de la red, los movimientos de las unidades de interacción (de los habitantes) entre clases de equivalencia (ciudades) son frecuentes y relativamente libres en el sistema.

 

Nótese que las regularidades PZM se observan sólo en el ámbito cerrado de un sistema de interacción. Nosotros observamos regularidades PZM para todo Estados Unidos, pero también para cada estado con la excepción de Texas. Una explicación de esta excepción podría ser el hecho de que las fronteras de Texas son líneas rectas arbitrarias en un mapa que no se corresponde con una membrana casi impermeable. El mismo enfoque de descripción de jerarquía de tres niveles puede ser aplicado a la astrofísica a estrellas para los que observamos regularidades PZM. […]Del mismo modo podemos analizar cualquier interacción del sistema que revele una regularidad PZM”. (Como en nuestra distribución de Dunbar)

 

Winiwarter cita otro ejemplo, el de la economía de un país. Siendo el sistema de interacción toda la economía (por ejemplo, un país o el mundo entero). Dentro de este sistema tenemos interacciones entre unidades locales llamadas unidades de interacción monetaria (pesos, dólares o euros), que pueden clasificarse en clases de equivalencia que pueden ser empresas (volumen de negocios de una empresa o los activos de una empresa). Los tamaños de las clases de equivalencia (tamaño de empresa) siguen una regularidad PZM.

Winiwarter introduce el concepto de jerarquía dentro de las redes que presentan una distribución del tipo PZM, como la distribución de Dunbar. Entonces dónde quedaría “lo distribuido” de una red distribuida, la pretendida igualdad entre pares en una red humana. Esto no debería, en un principio, soliviantar los ánimos democráticos solicitados a una red distribuida entre pares, ya que para que permanezcan siendo pares los roles debes ser intercambiables, ergo las jerarquías se deberán ir relocalizando en el tiempo y en el lugar alternando la función jerárquica entre todos sus miembros. No se describe una utilización de la jerarquía natural en función de apropiación o de manipulación tanto a nivel como de los niveles inferiores por parte de las capas de más arriba. Si así ocurriese, se establecería una relación de poder.[vii]

Las Power Laws como un sistema dinámico

Para concluir este capítulo vamos a relacionar el análisis que veníamos haciendo con el modelo de jerarquía de tres niveles de Winiwarter. Como una aproximación al tema que hacíamos referencia mas arriba diremos que lo que el físico llama jerarquía describe el diverso grado de aceptación que tiene cada oferta disponible (eje de las x) que se pone de manifiesto mediante la dispar concurrencia que tienen los agentes hacia las diversidad de opciones ofrecidas a partir de la power law. Los agentes son pares, sus necesidades no, lo que establece una diferencia social y por ende una jerarquía, lo que no significa necesariamente una estructura de poder si se cuida que las jerarquías que se establecen naturalmente no se cristalicen en el tiempo y que la red social siempre tenga una alternativa al modelo impuesto.

 

En el modelo de tres niveles Δy representa la clase que contiene lo que él llama unidades de procesamiento locales, esto es los agentes mas símiles entre sí que son capaces de interaccionar y constituirse en tales unidades. Este dispositivo se replica fractalmente y en conjunto conforman sistema. Por motivos de grados de libertad del árbol y de la curva Power Law, las unidades de procesamiento locales, los agentes, tienen mayor posibilidad de movilidad que las porciones más lejanas al tronco del árbol. Esta rigidez es creciente y se incrementa hasta ser casi inamovible, ya que el sistema sólo se interrelaciona con otros sistemas y con el entorno, por lo que sólo cambiará cuando un factor exógeno así lo determine.

 

De esta manera podemos conceptualizar a las power laws como un conjunto de clases que se interaccionan dentro de sí y entre sí con un grado de rigidez creciente. Salta a la vista que estas clases se van conformando en cualquier porción de la curva y evolucionan en la medida que posibiliten la interacción de los agentes (unidades procesamiento) con la porción del sistema que está mas cerca del tronco (el sistema como conjunto), que sea capaz de creación de un cuerpo. Las demandas de los agentes dentro de una clase son totalmente relativos a las clases superiores, por lo que su identificación esta supeditada exclusivamente a su aspecto funcional o si se quiere de significado, que a su vez está condicionado por la acción de los otros Δy, las otra clases que conviven en el sistema y por la acción del sistema como conjunto, la posibilidad de coexistencia.

 

Entonces quedan claras, a partir de este enfoque, las dos solicitudes que hacen ambos modelos el de Bejan y el de Westst et al, a un sistema de flujos. Para sistemas establecidos con entornos estabilizados (ley constructal), éste evolucionará internamente en la dirección que los flujos lleguen de la manera más fácil hasta los agentes, la conformación de clases será más estable y su intercambio se hará de manera más fácil. Para entornos cambiantes, el árbol no dudará en mutar tanto en dar nuevas ramas extendiendo su fractal o restringiéndolo, más allá de la suerte que corran los agentes más extremos, esto es: el sistema se fraccionará en nuevas clases, incluso podrá haber algunas que ya no le pertenezcan. La limitante de todo sistema es la disponibilidad de flujos que posibilitan su existencia. Los sistemas que no cuenten con los suministros necesarios pare poder sobrevivir en el tiempo estarán condenados al fraccionamiento o al fracaso.

 

Si de este capítulo queda clara esta idea, es suficiente por ahora. En el próximo analizaremos cada parte de la curva aplicándola específicamente para un sistema social de interacción directa. La fraternidad es la forma que toma la clase para hacer posible que lleguen los flujos a los puntos más extremos de la comunidad de una manera sustentable en el tiempo.


[i] Tema tratado en el capítulo 3

[ii] Decimos eligen pero la mayoría de las veces el lugar desde donde se demanda no se elige, simplemente se obtiene de un acuerdo o una pelea que está en concordancia con las necesidades de los agentes. Por el caso de un recurso vital como el agua, la necesidad por ese recurso hace que los agentes luchen por satisfacer su necesidad se este recurso escasea, o un ejemplo histórico lo constituye la lucha del pueblo indio por la sal en tiempo de Mahatma Gandhi

[iii] Recordemos que estamos en un espacio tiempo todavía matriarcal, pre edípico, donde todavía no se ha constituido el sistema económico, donde de lo que hay, hay de todo y en abundancia

[iv] A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology  G. B. West, J. H. Brown and B. J. Enquist Science 4 April 1997

 

“Allometric scaling relations, including the 3/4 power law for metabolic rates, are characteristic of all organisms and are here derived from a general model that describes how essential materials are transported through space-filling fractal networks of branching tubes. The model assumes that the energy dissipated is minimized and that the terminal tubes do not vary with body size. It provides a complete analysis of scaling relations for mammalian circulatory systems that are in agreement with data. More generally, the model predicts structural and functional properties of vertebrate cardiovascular and respiratory systems, plant vascular systems, insect tracheal tubes, and other distribution networks.”

 

 

[v] Este principio fue establecido por Bejan en 1996 y dice lo siguiente: “Para que un sistema de tamaño finito persista en el tiempo (sobreviva), debe desarrollarse de tal manera que facilite el acceso a las corrientes que lo atraviesan. ”

 

[vi] Consideraciones:

 

Hay nk ramas a nivel k

 

La paredes de las venas son rígidas, de radios rk

 

Se conserva el volumen del fluido

 

El diámetro de los capilares está dado

 

La potencia de bombeo está minimizada

 

Conclusiones:

 

Radio relativo rk largo k escalar con n, y n es el mismo en cada nivel de ram

 

1.   Tasa metabólica B =αM.75

 

2.   Esta regle de escala deviene en muchas otras con aplicaciones diversas.

 

[vii] Al ejemplo de las ciudades no es aplicable lo dicho ya que las ciudades son estructura muy estáticas, por lo que un cambio en la red de ciudades podría durar años o siglos. En los sistema sociales esto sí se cumple ya que están en una permanente dinámica.

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